Umumlashgan funktsiyalar

Umumlashgan funktsiyalar – klassik ma’nodagi funktsiyanya umumlashtiruvchi matematik tushuncha. Umumlashgan funktsiyalarni ta’riflash uchun asosiy funktsiyalar sinfi D, ya’ni, odatda, cheksiz differentsiallanuvchi va biror chegaralangan sohadan tashqarida nolga aylanuvchi cheksiz funktsiyalar olinadi. Chegaralangan har bir f(x) funktsiya Umumlashgan funktsiyalar bo’ladi, chunki u T((f)= J f(x)<p(x)dx ko’rinishidagi chiziqli uzluksiz funktsionalni aniqlaydi. Bu ko’rinishdagi Umumlashgan funktsiyalar regulyar, qolgan barcha Umumlashgan funktsiyalar singulyar deyiladi. Masalan, 8(u) = u(0) u(0) = J 5(x)y(x)dx tenglik bilan aniqdangan deltafunktsiya (Dirak funktsiyasi) singulyar Umumlashgan funktsiyalardir. Umumlashgan funktsiyalarning odatdagi funktsiyalarda bo’lmagan xossalari bor. Masalan, har qanday Umumlashgan funktsiyalar umumlashgan ma’nodagi hosilaga ega; Umumlashgan funktsiyalarlarni boshka fazolarda ham funktsional deb qarash mumkin; yaqinlashuvchi Umumlashgan funktsiyalar qatorini hadlab differentsiallash mumkin. Umumlashgan funktsiyalar tushunchasini matematikaga birinchi bo’lib rus matematigi S.L.Sobolev 1935 yilda kiritgan. Keyinchalik L. Shvars va boshqa matematiklar o’rgangan. Umumlashgan funktsiyalar tushunchasi differentsial tenglamalarida, matematik fizika tenglamalarida keng qo’llaniladi.